Un artisan crée des boucles d’oreille en métal. Il étudie un
nouveau modèle de forme rectangulaire et souhaite y incruster une
pierre précieuse, la plus petite possible, afin de réduire les coûts.
On modélise la situation par un rectangle ABCD tel que AB = 8 mm et
AD = 12 mm. Les points M, N, P, Q appartiennent respectivement aux
segments [AB], [BC], [CD] et [AD], tels que AM = BN = CP = DQ.
Il s’agit de trouver la position du point M pour que l’aire du quadrilatère
MNPQ soit minimale.
On pose AM = et () l’aire en mm² du quadrilatère MNPQ. On a 0 ≤ ≤ 8 et on cherche le minimum de sur [0; 8].
1°) a) Exprimer en fonction de l’aire du triangle AMQ et l’aire du triangle BMN (on pourra commencer par coder la
figure).
b) En déduire que () = 2
2 − 20 + 96
2°) Visualiser la courbe représentative de sur l’écran de la calculatrice. Quel semble être le minimum de sur [0; 8],
et en quelle valeur semble-t-il atteint ?
3°) a) Montrer que pour tout ∈ [0; 8], () = 2( − 5)2 + 46
b) En utilisant cette expression : - résoudre l’équation () = 46
- justifier que pour tout réel , () ≥ 46
c) Donner une interprétation de ce résultat, de manière à aider l’artisan dans son travail