On appelle la fonction logarithme décimal (notée log) la fonction définie, pour tout réel x > 0, par log = ln ln10 x x . 1. a) Montrer que log(10n) = n avec n ∈ ℤ. b) Montrer que log(xn) = nlog(x) avec x ∈ ]0 ; ∞[ et n ∈ ℤ. 2. Dresser le tableau de variations de la fonction log, en y faisant apparaître les limites aux bornes de l’ensemble de définition. 3. Soit N un entier naturel non nul. On veut montrer que le nombre de chiffres dans l’écriture décimal de N est 1 E(log N) où E(x) représente la partie entière du réel x. a) Tout nombre entier naturel N peut être encadré par deux puissances de 10 sous la forme : 10n ⩽ N < 10n 1 avec n ∈ ℕ. À l’aide de cet encadrement, en déduire le nombre de chiffres de N. b) À l’aide du sens de variation de la fonction log déterminé à la question 2., en déduire que le nombre de chiffres de N est 1 E(log N). B À l’aide de cette méthode, déterminer le nombre de chiffres que possède le plus grand nombre premier annoncé en fin d’année 2018 grâce au projet GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) qui devient ainsi le 51e nombre de Mersenne : 282589933 – 1.