On considère un processus Xt défini par
Xt + φXt-1 = Zt + θZt-1
Avec Zt un processus bruit blanc Gaussien
1. Identifier le modele ARMA(p,q) correspondant à ce processus (Xt)t∈Z
2. Déterminer les valeurs de φ et θ pour ce processus soit à la fois causal et inversible.
On suppose dans la suite que le processus est causal et inversible
3. Déterminez sa représentation de wold, c’est-à-dire les Coefficients ψj tel que
Xt=∑ ψj
∞
j=1
zt-j
4. Montrez que la corrélation ρ(1) du processus (Xt)t∈Z vérifie
ρ(1)= (θ−φ)(1−θφ)
1−2θφ+θ2
5. Déterminez sa densité spectrale
6. Calculez les prévisions de Xt pour l’horizon h>1