Answer:
[tex]\mathrm{Therefore,\:the\:final\:solutions\:for\:}y=9-x,\:y=2x^2+4x+6\mathrm{\:are\:}[/tex]
[tex]\begin{pmatrix}x=\frac{1}{2},\:&y=\frac{17}{2}\\ x=-3,\:&y=12\end{pmatrix}[/tex]
Step-by-step explanation:
Given the simultaneous equations
[tex]y=9-x[/tex]
[tex]y\:=\:2x^2\:+\:4x\:+\:6[/tex]
Subtract the equations
[tex]y=9-x[/tex]
[tex]-[/tex]
[tex]\underline{y=2x^2+4x+6}[/tex]
[tex]y-y=9-x-\left(2x^2+4x+6\right)[/tex]
[tex]\mathrm{Refine}[/tex]
[tex]x\left(2x+5\right)=3[/tex]
[tex]\mathrm{Solve\:}\:x\left(2x+5\right)=3[/tex]
[tex]2x^2+5x=3[/tex] ∵ [tex]\mathrm{Expand\:}x\left(2x+5\right):\quad 2x^2+5x[/tex]
[tex]\mathrm{Subtract\:}3\mathrm{\:from\:both\:sides}[/tex]
[tex]2x^2+5x-3=3-3[/tex]
[tex]\mathrm{Solve\:with\:the\:quadratic\:formula}[/tex]
[tex]\mathrm{Quadratic\:Equation\:Formula:}[/tex]
[tex]\mathrm{For\:a\:quadratic\:equation\:of\:the\:form\:}ax^2+bx+c=0\mathrm{\:the\:solutions\:are\:}[/tex]
[tex]x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]
[tex]\mathrm{For\:}\quad a=2,\:b=5,\:c=-3:\quad x_{1,\:2}=\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot \:2\left(-3\right)}}{2\cdot \:2}v\\[/tex]
[tex]x=\frac{-5+\sqrt{5^2-4\cdot \:2\left(-3\right)}}{2\cdot \:2}[/tex]
[tex]=\frac{-5+\sqrt{5^2+4\cdot \:2\cdot \:3}}{2\cdot \:2}[/tex]
[tex]=\frac{-5+\sqrt{49}}{2\cdot \:2}[/tex]
[tex]=\frac{-5+\sqrt{49}}{4}[/tex]
[tex]=\frac{-5+7}{4}[/tex]
[tex]=\frac{2}{4}[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}[/tex]
Similarly,
[tex]x=\frac{-5-\sqrt{5^2-4\cdot \:2\left(-3\right)}}{2\cdot \:2}:\quad -3[/tex]
[tex]\mathrm{The\:solutions\:to\:the\:quadratic\:equation\:are:}[/tex]
[tex]x=\frac{1}{2},\:x=-3[/tex]
[tex]\mathrm{Plug\:the\:solutions\:}x=\frac{1}{2},\:x=-3\mathrm{\:into\:}y=9-x[/tex]
[tex]\mathrm{For\:}y=9-x\mathrm{,\:subsitute\:}x\mathrm{\:with\:}\frac{1}{2}:\quad y=\frac{17}{2}[/tex]
[tex]\mathrm{For\:}y=9-x\mathrm{,\:subsitute\:}x\mathrm{\:with\:}-3:\quad y=12[/tex]
[tex]\mathrm{Therefore,\:the\:final\:solutions\:for\:}y=9-x,\:y=2x^2+4x+6\mathrm{\:are\:}[/tex]
[tex]\begin{pmatrix}x=\frac{1}{2},\:&y=\frac{17}{2}\\ x=-3,\:&y=12\end{pmatrix}[/tex]
