Respuesta :

Space

Answer:

[tex]\displaystyle \int {\frac{2}{(1 + \sqrt{x})^5}} \, dx = \frac{-(4\sqrt{x} + 1)}{3(\sqrt{x} + 1)^4} + C[/tex]

General Formulas and Concepts:

Pre-Algebra

Order of Operations: BPEMDAS

  1. Brackets
  2. Parenthesis
  3. Exponents
  4. Multiplication
  5. Division
  6. Addition
  7. Subtraction
  • Left to Right

Algebra I

  • Exponential Rule [Root Rewrite]:                                                                   [tex]\displaystyle \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}[/tex]
  • Exponential Rule [Rewrite]:                                                                            [tex]\displaystyle b^{-m} = \frac{1}{b^m}[/tex]

Calculus

Derivatives

Derivative Notation

Basic Power Rule:

  • f(x) = cxⁿ
  • f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Antiderivatives - Integrals

Integration Constant C

U-Substitution

  • U-Solve

Integration Rule [Reverse Power Rule]:                                                               [tex]\displaystyle \int {x^n} \, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C[/tex]

Integration Property [Multiplied Constant]:                                                         [tex]\displaystyle \int {cf(x)} \, dx = c \int {f(x)} \, dx[/tex]

Integration Property [Addition/Subtraction]:                                                       [tex]\displaystyle \int {[f(x) \pm g(x)]} \, dx = \int {f(x)} \, dx \pm \int {g(x)} \, dx[/tex]

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

[tex]\displaystyle \int {\frac{2}{(1 + \sqrt{x})^5}} \, dx[/tex]

Step 2: Identify Variables

Find the variables u-solve using u-substitution.

U-Substitution

[tex]\displaystyle u = 1 + \sqrt{x}[/tex]

[tex]\displaystyle du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx[/tex]

U-Solve

[tex]\displaystyle x = (u - 1)^2[/tex]

[tex]\displaystyle dx = 2\sqrt{x}du[/tex]

Step 3: Integration

  1. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 [tex]\displaystyle 2\int {\frac{1}{(1 + \sqrt{x})^5}} \, dx[/tex]
  2. [Integral] U-Solve:                                                                                         [tex]\displaystyle 2\int {\frac{1}{(1 + \sqrt{(u - 1)^2})^5}} \, 2\sqrt{x}du[/tex]
  3. [Integral] Simplify:                                                                                         [tex]\displaystyle 2\int {\frac{2\sqrt{x}}{u^5}} \, du[/tex]
  4. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 [tex]\displaystyle 4\int {\frac{\sqrt{x}}{u^5}} \, du[/tex]
  5. [Integral] U-Solve:                                                                                         [tex]\displaystyle 4\int {\frac{\sqrt{(u - 1)^2}}{u^5}} \, du[/tex]
  6. [Integral] Simplify:                                                                                         [tex]\displaystyle 4\int {\frac{u - 1}{u^5}} \, du[/tex]
  7. [Integral] Rewrite [Integration Property - Subtraction]:                               [tex]\displaystyle 4[\int {\frac{u}{u^5}} \, du - \int {\frac{1}{u^5}} \, du][/tex]
  8. [Integrals] Simplify:                                                                                       [tex]\displaystyle 4[\int {\frac{1}{u^4}} \, du - \int {\frac{1}{u^5}} \, du][/tex]
  9. [Integrals] Rewrite [Exponential Rule - Rewrite]:                                         [tex]\displaystyle 4[\int {u^{-4}} \, du - \int {u^{-5}} \, du][/tex]
  10. [Integrals] Reverse Power Rule:                                                                   [tex]\displaystyle 4[\frac{u^{-3}}{-3} - \frac{u^{-4}}{-4}] + C[/tex]
  11. Rewrite [Exponential Rule - Rewrite]:                                                           [tex]\displaystyle 4[\frac{-1}{3u^3} + \frac{1}{4u^4}] + C[/tex]
  12. [Brackets] Multiply:                                                                                       [tex]\displaystyle \frac{-4}{3u^3} + \frac{4}{4u^4} + C[/tex]
  13. Back-Substitute:                                                                                             [tex]\displaystyle \frac{-4}{3(1 + \sqrt{x})^3} + \frac{4}{4(1 + \sqrt{x})^4} + C[/tex]
  14. Combine:                                                                                                       [tex]\displaystyle \frac{-(4\sqrt{x} + 1)}{3(\sqrt{x} + 1)^4} + C[/tex]

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/II)

Unit: Integration

Book: College Calculus 10e

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